Georg Cantor, "La formazione della Teoria Degli Insiemi"
Georg Cantor, "La formazione della Teoria Degli Insiemi"
Sansoni | 1992 | ISBN: 8838314101 | French | PDF | 139 pages | 66.5 MB
Sansoni | 1992 | ISBN: 8838314101 | French | PDF | 139 pages | 66.5 MB
«Nella storia delle scienze», scrive Ernst Zermelo nella prefazione a quella che può essere considerata l'editio princeps delle opere di Cantor, «è un caso veramente raro che un'intera disciplina d'importanza fondamentale sia dovuta all'opera creativa di una sola persona. Questo caso si è verificato con la teoria degli insiemi, creata da Georg Cantor».
Si potrebbe aggiungere che la matematica, com'è oggi, sarebbe impensabile senza teoria degli insiemi; che il modo di concepire quelli che sono da sempre i tre temi centrali del pensiero matematiico - il continuo, il numero, l'infinito - ha subito con Cantor una rivoluzione paragonabile, per profondità e irreversibilità, a quella operata da Zenone di Elea con i suoi paradossi; e che anche sul piano filosofico le idee di Cantor si sono rivelate estremamente importanti, se hanno permesso di ripensare concetti da sempre fondamentali anche al di fuori della matematica, come quelli di classe - quindi, in un modo o nell'altro, di universale - e di infinito.
« Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi. »
(David Hilbert)
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845 – Halle, 6 gennaio 1918) è stato un matematico tedesco, padre della moderna teoria degli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere al suo interno i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali.
Cantor nacque a San Pietroburgo, figlio di George Waldemar Cantor, un mercante danese, e di Maria Anna Böhm, una musicista russa. Nel 1856 la famiglia si trasferì in Germania e Georg continuò la sua educazione presso le scuole tedesche, conseguendo il dottorato presso l'Università di Berlino nel 1867.
Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.
Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Cominciò allora a leggere testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse:
« L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Deo, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico. »
Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì ad Halle dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Leopold Kronecker giudicò le sue scoperte «prive di senso».
Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato l'insieme potenza di A. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito A ha una grandezza maggiore della grandezza di A stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice; per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega.
L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.
A Cantor è stato intitolato il cratere Cantor, sulla Luna.
David Foster Wallace ha scritto "Tutto, e di più. Storia compatta dell'infinito" che parla di Cantor.
Cantor nacque a San Pietroburgo, figlio di George Waldemar Cantor, un mercante danese, e di Maria Anna Böhm, una musicista russa. Nel 1856 la famiglia si trasferì in Germania e Georg continuò la sua educazione presso le scuole tedesche, conseguendo il dottorato presso l'Università di Berlino nel 1867.
Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito, cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.
Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Cominciò allora a leggere testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse:
« L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Deo, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico. »
Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì ad Halle dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Leopold Kronecker giudicò le sue scoperte «prive di senso».
Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme A, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di A, chiamato l'insieme potenza di A. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito A ha una grandezza maggiore della grandezza di A stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice; per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega.
L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.
A Cantor è stato intitolato il cratere Cantor, sulla Luna.
David Foster Wallace ha scritto "Tutto, e di più. Storia compatta dell'infinito" che parla di Cantor.
Georg Cantor, "La formazione della Teoria Degli Insiemi"
