Percolation et modèle d'Ising

L'un des principaux buts de la théorie des probabilités est de comprendre et décrire le comportement à grande échelle de systèmes aléatoires. On commence en général au niveau Licence puis Master par aborder le cas particulier des sommes de variables aléatoires indépendantes. Cependant, de nombreux systèmes autour de nous peuvent être considérés comme étant aléatoires sans pour autant que l'on puisse les décrire à
grande échelle via une simple loi des grands nombres ou un théorème central limite.
Ceci peut être dû au fait que les variables aléatoires qui décrivent le système ne sont pas indépendantes ou/et que l'on s'intéresse à d'autres quantités observables que les sommes/moyennes de ces variables aléatoires. Comme nous allons le voir, les systèmes de particules physiques où la position de ces particules dans l'espace joue un rôle important, fournit de tels cas.
Le but de ce cours (enseigné ces dernières années dans le cadre du premier semestre de la seconde année de Master de mathématiques à l'université Paris-Sud à Orsay) est de décrire le type de problèmes que l'on rencontre alors et de présenter quelques résultats et techniques pour certains modèles concrets et classiques de la physique statistique. Plus précisément, on se concentrera tout d'abord sur la percolation. Il s'agit d'un modèle construit à partir de simples variables de Bernoulli indépendantes (c'est-à-dire une succession de tirages à pile ou face), mais où l'on s'intéresse à des fonctionnelles très non-linéaires du système. Dans ce cas, il n'y a aucun problème pour définir le modèle et on peut s'attaquer tout de suite à l'étude de celui-ci. On étudiera tout particulièrement le changement de phase pour l'existence ou non de chemins infinis…